根据《劳动争议调解仲裁法》，当事人在仲裁过程中确实可以自行和解。但这种和解并不意味着纠纷完全解决。如果和解后一方反悔或不履行协议，另一方仍可以申请仲裁或提起诉讼。此外，自行和解也可能存在协议内容不合法、不公平等风险。

当事人在劳动争议仲裁中，完全有权选择自行和解。但为了确保双方权益，建议在和解前咨询律师，确保协议内容合法、公平。同时，和解后也要保留好相关证据，以防不时之需。